Кішки, мишки і всі піщинки Всесвіту (або про математику у єгиптян)

"В одному місті біля великої річки люди дуже любили кішок. У семи будинках цього міста тримали по сім струнких витончених гладкошерстих кішок у кожному. Ці кішки були чудовими мисливицями і дуже любили ловити мишей. Одного разу кожна з них впіймала і з'їла по сім товстих мишок. Кожна з мишок до цього встигла вже з'їсти по сім колосків, кожен з яких, не будь він з'їдений мишкою, дав би по сім заходів зерна хліборобу. Хотілося б знати, скільки всього було в семи будинках міста у великої річки струнких кішок, скільки вони разом з'їли товстих мишей, скільки всього колосків встигли з'їсти спіймані кішками мишки і скільки  зерна не дорахувалися в урожаї хлібороби завдяки апетиту з'їдених гризунів? "
Це задачка з дуже старого підручника математики, складеного колись у Давньому Єгипті і збереженого до наших днів на одному з папірусів. У XVIII столітті до н. е.. цей папірус був переписаний з якогось ще більш давнього папірусу, оригінал якого не зберігся.
Окрім самої задачки, в папірусі є і абсолютно правильне її, яке цілком під силу будь-якій сучасному школяреві, знайомому з множенням, так що, хто хоче, може переконатися в цьому сам. Зауважимо тільки, що автор, який жив на берегах Нілу близько чотирьох тисячоліть тому, придумав цю задачку не просто так. Її розв’язання утворює строгу геометричну прогресію зі знаменником 7. У країні неуків, де не знають математичних законів, не оволоділи навичками арифметики, такого завдання просто не може бути. З цього легко зробити майже математичний за точністю висновок: Єгипет країною неуків не був, і математику там знали зовсім непогано. Та й дивно було б у тому засумніватися, побачивши єгипетські піраміди зовсім правильної форми, з чітко вивіреними сторонами і кутами, де кожен камінь лежить на своєму місці і все доведено майже до досконалості. Напевно побудови таких грандіозних споруд передували суворі математичні розрахунки, а значить, у Давньому Єгипті вже знали не тільки арифметику, але і геометрію. Це дійсно так. У тому ж папірусі, де записана завдання про кішок і мишок, є й інші завдання, і багато хто з них геометричні. Не випадково найвідоміші грецькі автори стародавнього світу - "батько історії" Геродот і інший історик і географ Страбон називають єгиптян "батьками геометрії". Стародавні єгиптяни вже в ті далекі часи вміли розраховувати площі різних геометричних фігур, у тому числі і круга.
"Подумаєш! - Скаже будь-який п'ятикласник. - Я теж вмію обчислювати площу круга, це робиться за формулою:
S = r², де S - шукана площа, r - радіус кола, тобто половина його діаметра, а - це число, рівне приблизно 3,14.
           У тому-то й особливість, що єгиптяни значення числа (пі) не знали, а площу круга обчислювати вміли. Хоча і приблизно, але з дуже малою похибкою. Для цього вони обчислювали площу квадрата зі стороною, рівною 8 / 9 діаметра кола, площу якого хотіли визначити. Площа такого квадрата дійсно близька до площі шуканого кола, і помилка при обчисленнях дуже невелика. Вона така, як якщо б у  формулі, за якою обчислюють площу круга, замість значення  3,14 підставили б  3,16.

Вміли єгиптяни без числа обчислювати площі та обсяги набагато більш складних фігур, ніж коло, таких як зрізана піраміда або півкуля. Винахідливі були в країні фараонів математики, а все почалося з того, що єгиптяни навчилися рахувати.
Тобто, якщо бути точним, як це личить в математиці, рахувати люди навчилися ще раніше, ніж навчилися писати. Вони ще в первісному суспільстві володіли азами арифметики краще братів своїх менших. Але якщо ти добре вмієш рахувати на пальцях до десяти або навіть двадцяти в думці - це ще не означає, що ти зможеш правильно розділити десять мір ячменю між десятьма людьми так, щоб різниця між кожною людиною і його сусідом становила 1 / 8 мірки. А це ще одна задачка з того ж "математичного" папірусу.
До складання цього древнього підручника математика в Древньому Єгипті пройшла довгий шлях розвитку, збагатилася багатьма досягненнями знань і винаходами. І перш за все для того, щоб вести правильні складні обчислення, людям треба було вигадати цифри - знаки, за допомогою яких можна записати число.
Свої цифри єгиптяни, мабуть, придумали в ті ж часи, що й ієрогліфи писемності - в середині або на початку четвертого тисячоліття до н. е.. Цифри ці були прості, але зате й усім зрозумілі. Звичайні маленькі вертикальні рисочки застосовувалися для запису чисел від 1 до 9, одна риска - це одиниця, дві рисочки відповідали двійці, три - трійці і т. д., а ось число десять вже зображували іншим знаком, що нагадує скобу або підкову. У єгиптян він, мабуть, символізував пута для худоби. Сотню єгиптяни зображували знаком, що нагадує закручену мотузку, стебло лотоса позначав тисячу, піднятий вгору людський палець - десять тисяч. Сто тисяч єгипетські математики зображували, малюючи пуголовка, напевно, тому, що їх дуже багато народиться з ікри однієї жаби. Фігура сидячого божества з піднятими руками позначала мільйон - так багато, що тільки Богу під силу охопити це число розумом.
Десять рисочок-одиниць можна було замінити одним знаком десятки, десять десятків - знаком сотні, десять сотень - знаком тисячі і так далі. Це означає, що у єгиптян була десяткова система числення, якою користуються люди і до цього дня.
За допомогою послідовності з таких цифр єгиптяни могли записати будь-яке число. Писали вони горизонтально справа наліво зображуючи спочатку знаки більшого значення, а потім більш дрібні. Загалом, так само як і ми, в тому ж порядку, тільки починаючи запис з іншого боку.
У сучасних математичних записах числа будь-яка цифра залежно від її положення в записі може приймати значення різного порядку. Так, 1 - це просто одиниця, а якщо за нею стоїть ще якась цифра, то та ж одиниця набирає ваги і стає вже десятком. Може.т ця цифра означати і сотню, і тисячу, в залежності від того місця (позиції), яке займає в записі числа. Така система числення називається "позиційної".
У єгиптян ж вертикальна паличка завжди залишалася одиницею, а "підкова" - десяткою. Тому в запису великих чисел єгипетським математикам доводилося повторювати той чи інший знак стільки разів, скільки було одиниць, десяток, сотень, поки їх не можна було замінити наступної об'єднує цифрою. Наприклад, в числі триста сорок два (342) єгиптянин написав би справа наліво три знаки "скрученої мотузки" - три сотні, потім чотири знаки "підкови" - чотири десятки і дві вертикальні риски. Записи великих чисел у єгиптян виходили дуже громіздкими, а винайдену ними систему числення називають "непозиційній". І все-таки єгиптяни примудрялися правильно складати, віднімати, ділити та множити, незважаючи на труднощі оперування такими цифрами. А це було дійсно нелегко. Особливо важко давалися множення і ділення.
Знали вони вже й дробу, але у більшості дробів єгипетських математиків в чисельнику стояла одиниця - 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, 1 / 54 і т.п. Деякі, особливо часто вживані в розрахунках єгиптян дробу мали свої власні особливі знаки: 1 / 2 позначалася стилізованим зображенням ребра, може бути, тому, що навпроти кожного ребра з іншого боку тіла є таке ж, 1 / 4 позначалася косим хрестом - це зрозуміло, адже хрест ділить площину на чотири частини, особливі знаки були також у 2 / 3 і 3 / 4.
Для визначення заходів сипучих речовин, наприклад зерна, існували у єгиптян особливі дробу. Міра зерна називалася "хеката" (4,785 л), і ділилася вона відповідно до міфом єгиптян про боротьбу злого бога Сета з богом Гором. Сет розірвав на частини око Гора, але мудрий бог Той відновив його. Зображення різних шматочків розірваного очі Гора служили єгиптянам для позначення різних частин хекати - 1 / 2, 1 / 4, 1 / 8, 1/l6, 1 / 32 і 1 / 64. Це були вже справжні дробові ієрогліфи.
Довжину єгиптяни вимірювали в "ліктях" (52,3 см), "долонях" (7 долонь = 1 лікоть) і "пальцях" (4 пальця = 1 долоню). Міра площі називалася "сечат" і становила 100 квадратних ліктів. Міра ваги "дебен"  дорівнює приблизно 91 кг.
Математика єгиптян розвивалася в міру потреби разом з цивілізацією. Єгипетські жерці не займалися математичними дослідженнями з метою розвитку самої науки, їх думка завжди працювала в напрямку вирішення тієї чи іншої конкретної практичної задачі з повсякденного життя. Збирачу податків необхідно зробити правильний облік зерна чи худоби, жрець-інженер повинен розрахувати, скільки потрібно кам'яних блоків для будівництва піраміди та параметри системи зрошувальних каналів, що приносять воду могутнього Нілу до посушливих земель. Або треба дізнатися, скільки працівників буде потрібно для будівництва палацу або пірамід і скільки днів у році буде працювати кожен з них, так щоб у нього залишився ще час для роботи у власному господарстві, і інше. Відповідно до такої спрямованістю на практичне вирішення життєвих завдань складалися і математичні підручники-папіруси стародавніх єгиптян.
Використано матеріали  poznovatelno.ru